どちらも面積の公式として紹介されているのですが、 a＝1の場合、上と下の公式では符号ががってしまいま

y=f(x) と x軸 と x=α と x=β (ただし α<β)

が囲む図形の面積は、∫[α～β]|f(x)|dxです。
（一般に、|∫[α～β]f(x)dx|ではありません。）

f(x)=a(x-α)(x-β) の場合には、
∫[α～β]|f(x)|dx
=∫[α～β]|a(x-α)(x-β)|dx
=|a|∫[α～β](-(x-α)(x-β))dx
=|a|(1/6)(β-α)^3　と計算できます。

∫の中の|f(x)|からaを括り出すときに
|a|に絶対値記号が付いて残ります。

最下行への変形では、いわゆる1/6公式
∫[α～β](x-α)(x-β)dx
=(-1/6)(β-α)^3　を使っています。

こちらの式で1/6にマイナスが付く理由は、
公式の導出をやってみればわかります。
t=x-αと置いて
∫[α～β](x-α)(x-β)
=∫[0～β-α]t(t-β+α)dt
=∫[0～β-α](t^2-(β-α)t)dt
=[(1/3)t^3-(β-α)(1/2)t^2]_{0～β-α}
=(1/3 - 1/2)(β-α)^3 - 0
=(-1/6)(β-α)^3　です。

-1/6は、1/3 - 1/2 = -1/6 の結果なのです。

そうですね！

普通の記述模試や入試で使うの式は
上の式ではないといけません。
理由は積分の計算を省略したのが上の式で

下の式というのは、計算結果から考えて
積分の考えを飛躍させてできた式なので記述式で使うと減点対象です。

なので下の式はマーク模試などで使うから、検算で使うかしてください。

あと、符号が違う理由は
積分の計算をしてみると分かります。

上の関数-下の関数
を積分すると間の面積になるという考え方で解消できます。


もしa=1なら下に凸の２時関数だから
この公式を使える場合は、
必ず２時関数と面積を挟む直線が２時関数より上にあり交点が2つできますよね。
その際
上の関数が直線 下の関数が２時関数となる

直線-２時関数
でこれを積分ですね
そうすうると積分する中の値が負の値となって
結果的に1/6公式で正の値になります

って文で書いても説明できないです笑笑

実際にやってみてください。
どっちでも正の値になりますよ。
でも、もし違う値になるとしたら
さっきの
上の関数-下の関数
という積分の根本的な考え方が抜けていますので、教科書に立ち戻ってください

https://mathtrain.jp/frac16formula

もう一度出典となった文献（参考書？）を読み直してください

上（-1/6公式)は面積の公式とは書かれたいないはずですよ！
上は∫[α～β](x-α)(x-β)dx=(-1/6)(β-α)³・・・①　になるという定積分の公式であり、面積公式ではありません
従って　①は場合によっては「マイナス」になることがあるのです。
①は面積を求める場合に利用すると便利という事です。
この意味を理解して面積を求める際に①を使うなら
|∫[α～β](x-α)(x-β)dx|=|(-1/6)(β-α)³|としなければいけません。
ただし、普通は、
(グラフがより高い位置にある関数)-(グラフがより低い位置にある関数)としておいて
定積分するので絶対値なしで①を使っても結果が＋の値になります。
①左辺の定積分をするという事は、放物線y=(x-α)(x-β)とx軸で囲まれる部分・・・②の面積を求めるという事ですが、
この②がｙ軸より下にあるので①がマイナスの値になるのは当然のことです。（面積を求める領域がy軸より下なら面積はマイナスの数値で求まる・・・このことは基本事項なので要確認）

一方下の公式は面積公式としてそのまま使えるようです！

面積でしたら、プラスになるほうを使えばよいのではないでしょうか？

一体、何の面積の事を言いたいのか分からないし、面積にしては 3 乗になってるから体積のような気もする。

いずれにせよ、公式丸暗記で何とかしようとしているうちは、数学の実力は、つかないよ。