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ネットでは収束になってたんですけど、これ発散しませんか?
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質問者からの補足コメント

  • ゼロから無限です。。

      補足日時:2019/01/24 17:12

A 回答 (3件)

x≧1ならば


(1+x²)/(1+x⁴)=(1+1/x²)/(x²+1/x²)≦2/x²で
2/x²は1から∞の積分が収束したがって
問題の関数も1から∞の積分が収束だから
ネットのとおりです。
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写真の計算は、∫{1/(1+x^4)}dx = log(1+x^4) が間違っています。


∫{(4x^3)/(1+x^4)}dx = log(1+x^4) と混同したのでは?

x≧1 での積分が有界であることの証明は No.1 さんのとおり。
被積分関数が正値で積分が有界なら、その積分は収束します。

0≦x≦1 では、有界な被積分関数の有界区間上の積分ですから
収束します。∫[0〜1]{1/(1+x^4)}dx ≦ ∫[0〜1]1dx = 1
と計算すれば、納得しやすいですか?

∫[0〜∞]{1/(1+x^4)}dx = ∫[0〜1]{1/(1+x^4)}dx + ∫[1〜∞]{1/(1+x^4)}dx
右辺の両項が収束しますから、左辺も収束します。
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<ゼロから無限です。

。>
うん、だから
ゼロから無限ということは0から1までと1から∞までの2つの和になっている
そのうち1から∞が今見たように収束し0から1までは有限確定だから
ゼロから無限も収束ってわけ。
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