ネットでは収束になってたんですけど、これ発散しませんか？ お願いします

ｘ≧1ならば

(1＋ｘ²)/(1＋ｘ⁴)＝(1＋1/ｘ²)/(ｘ²＋1/ｘ²)≦2/ｘ²で
2/ｘ²は1から∞の積分が収束したがって
問題の関数も1から∞の積分が収束だから
ネットのとおりです。

写真の計算は、∫{1/(1+x^4)}dx = log(1+x^4) が間違っています。

∫{(4x^3)/(1+x^4)}dx = log(1+x^4) と混同したのでは？

x≧1 での積分が有界であることの証明は No.1 さんのとおり。
被積分関数が正値で積分が有界なら、その積分は収束します。

0≦x≦1 では、有界な被積分関数の有界区間上の積分ですから
収束します。∫[0〜1]{1/(1+x^4)}dx ≦ ∫[0〜1]1dx = 1
と計算すれば、納得しやすいですか？

∫[0〜∞]{1/(1+x^4)}dx = ∫[0〜1]{1/(1+x^4)}dx + ∫[1〜∞]{1/(1+x^4)}dx
右辺の両項が収束しますから、左辺も収束します。

＜ゼロから無限です。

。＞
うん、だから
ゼロから無限ということは0から1までと1から∞までの2つの和になっている
そのうち1から∞が今見たように収束し0から1までは有限確定だから
ゼロから無限も収束ってわけ。