公務員試験の数的処理の問題です。 1個15円の品物Aと1個35円の品物Bがある。どちらも必ず1個は買

#7について（念のため）

y=(-3/7)x+200/7は変化の割合-3/7の一次関数と言うのはあくまでもイメージです！
この方程式を図示すると直線になりますが、本問ではx,yは整数なので
直線上でx座標y座標が共に整数である点以外は無効です！
つまり、この問題の3x+7y=200はあたかも1次関数に見えるが1次関数とは呼べない　という事。
この点には留意してください

①を変形すると

7y=-3x+200
y=(-3/7)x+200/7
これは一次関数y=ax+bの形にa=-3/7,b=200/7を代入したものです
一次関数において
（変化の割合）a=yの増加量/xの増加量
ですから
y=(-3/7)x+200/7の変化の割合-3/7はxが7増えればｙが-３増えることを（3減ることを）表しています。
よって、画像のようにxが7ずつ増える、yは3ずつ減るという表になるのです

A と B を 同じ数だけ買うとすると、

A,B セットで 15+35=50 で 1000円では 20セット買えることになります。
これが 画像の (20, 20) の処です。
Aの個数 を 多くするには Bの個数 を 少なくしなければなりません。
15x7=105, 35x3=105 で、A が7個と B が3個が 同じ値段になりますから、
x が 7個 増えると y が 3個 減らないと、合計が合わなくなります。

> 表でなぜｘはyの係数7だけ増えるのか、yはｘの係数3だけ減るのか分かりません

再び書くが最小公倍数だから。

＞表でなぜｘはyの係数7だけ増えるのか、yはｘの係数3だけ減るのか分かりません

ほらね。なんちゃって解法のほうが早いとか考えるから、細部で混乱するのです。
ちゃんと方程式を解けば、迷うことはありません。

No.3 の 3(a+400) + 7(b-200) = 0 を
3(a+400) = -7(b-200) と変形してみると、
右辺は 7 で割り切れますが、3 と 7 が互いに素なので、
a+400 が 7 で割り切れないといけません。　←ここが重要
よって、a+400 = 7k となる整数 k があります。
これをもとの式へ代入すると、b-200 = -3k となるのです。

変形して a = 7k - 400, b = 200 - 3k となりますが、
k を 1 増やすと、a が 7 増えて b が 3 減っています。
そういうことです。

１５a + 35b = 1000 の自然数解を求める問題ですね。

とりあえず約分して、3a + 7b = 200.　…[1]
3・(-2) + 7・1 = 1　…[2] であることを思いついて
[1]-[2]・200 を片々計算すると、
3(a+400) + 7(b-200) = 0.
3,7 が互いに素であることから、この式より
a+400 = 7k,
b-200 = -3k　と置けることがわかるので、
a = 7k - 400,
b = 200 - 3k.　これが a,b の整数解なのですが、
問題は自然数解を要求しているので、
a ≧ 1, b ≧ 1 という k の不等式を解いて、
400/7 ≦ k ≦ 200/3 を満たす整数 k = 58, 59, ..., 66
に対応する 9 組の a,b が答えです。

m, n を正の整数として

　15m + 35n = 1000　　　①
となる m, n の対を探せばよいのですよね。

①を「５」で割って
　3m + 7n = 200

大きくなる方の n を基準に考えていけば、n=1～28 の範囲で調べればよいということです。
「解き方」なんかを考える前に、全部書き出してみればよいのです。

n=1 のとき　3m = 193　これを満たす整数 m はない。
n=2 のとき　3m = 186　これを満たす整数 m は m=62
n=3 のとき　3m = 179　これを満たす整数 m はない。
n=4 のとき　3m = 172　これを満たす整数 m はない。
n=5 のとき　3m = 165　これを満たす整数 m は m=55

こうやってみれば、
　3m = 200 - 7n
なので、あとは「n の３つおき」に整数 m が存在することが分かります。
つまり
　n=8 のとき　3m = 144　これを満たす整数 m は m=48
　n=11 のとき　3m = 123　これを満たす整数 m は m=41
　n=14 のとき
　n=17 のとき
　n=20 のとき
　n=23 のとき
　n=26 のとき　3m = 18　これを満たす整数 m は m=6

これで「９つ」ですね。

「賢い解き方」なんかを考える前に、さっさと「泥臭く数え上げる」方が早くて正確です。

とりあえず 15 + 35 = 50 なので

300 円と 700 円で 1,000 円

15 : 35 = 3 : 7 であって 3 と 7 の最小公倍数が 21
従って 15 * 7 = 105 円であって 35 * 3 = 105 円

となると品物 A の払い方として以下９通り

90
195
300
405
510
615
720
825
930