バッファローのルーター

パスワードを打ち込むのは、何のときにどのような画面で要求されるの
でしょうか？

プロバイダーとの接続設定は電源を切っても消えないので、電源投入後
自動的に接続動作を行うはずです。
PCとルーターとのWiFi接続のパスワードはPC側に保存されるので、PC側で
WiFi接続先(SSID) を選ぶと自動的に接続するはずです。

PCの設定でWiFi接続のパスワードを保存しないようにすれば、接続ごとに
パスワードを要求されますが、PCは一般的にはパスワードを保存する設定に
なっているはずです。

ルーターは電源を入れたまま運用することが多いですが、就寝時切って
翌朝起動するのでも問題はないはずです。

No.3 の補足を読みました。
コンセントを抜くと設定が消えるのは、ルーターの故障だと思います。
保障期間内であればバッファローに修理・交換を申し込むか、
コンセントから抜かずに運用するかですね。

> 翌朝起動するときまたパスワード打ち込むとこから始めなくてはなりません。

何のパスワードですか？
我が家ではこれまでに3台ほど同社のWi-Fiルーターを購入し、現在メインで使用しているWi-Fiルーターも同社のものです。
そして就寝の際は電源を切り、朝起きると電源を入れていますがそれ以上の手間はかけていません。

なお、このような場合に参照すべきは添付の説明書でAmazonのサイトにある商品情報を参照されるのではないです。
また、説明書ではなくネット上の情報ということであればメーカーの公式Webサイトにある同機種の案内ページ以下や同サイト内にあるQ&Aのページです。

https://www.buffalo.jp/product/detail/wsr-1166dhpl2.html

参考まで。

皆さん電源抜かないですよ．．．言うなればＦＡＸの機械だっていつ送信で送られるかわからないから付けっぱなしで、ルーターも付けてればスグWifiで情報取れるでしょ