「のに」についての質問

「仕事に追われて」と言う言葉に同意です。

仕事が山程有り、それを終わらせる、と、言う意味で、良く使われます。
白髪も抜き出すと、止まらなくなるので、「白髪を抜くのに終われて」と、表現します。

「白髪を抜くのに」にの「のに」は形式名詞「の」＋格助詞「に」です。

この「の」は抽象的な実体認識を表し、「白髪を抜く」を媒介的、抽象的に実体として捉え直し「の」と表現したもので、これを格助詞「に」で「追はれ出し」の静的な対象に位置付け、目的語としています。

したがって、
この　”白髪を抜く「のに」追はれ出した”の「のに」は、「白髪を抜く」という行為に「追はれ出した」という意味になります。

この「の」は準体助詞などという助詞ではなく抽象的な実体認識を表す名詞です。

詳しくは、
「＜準体助詞＞という誤り」
https://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=398881&id=96 …

を参照下さい。■

＞”白髪を抜く「のに」追はれ出した”の「のに」はどういう意味ですか。

「けれど」という意味ですか。
：
違います。
準体助詞「の」+格助詞「に」という構造の連語です。
”白髪を抜く事に追はれ出した”という意味。

＞もしかして、「追はれ出した」の動詞の目的語ですか。
：
そのとおりです。「白髪を抜くの（＝白髪を抜く事）」は、「追はれ出した」という動詞が「に」で受ける間接目的語（補語）ですね。

＞「彼女」は、歳をとることを怖がっているという状態ですか。「彼女」は「白髪」から逃げるのですか。
：
違います。
この場合の「追われる」は「余裕なく急がされる」という意味。
「白髪」を抜く作業が忙しくなる、ということ。
白髪は一度抜いても、別の白髪が次々に増えてくるため、すぐに、また抜かなくてはならなくなる。