ダイソーのLANコネクター（カテゴリ5用）

＞ダイソーのLANコネクターを買いましたが、

いわゆるＪＪですね。

＞今のケーブルはかなり古い時期のものだったり、
＞平べったいきし麺みたいなものもあります。

1980年代末から1990年代中頃ですとCat3という可能性もあります。
あなたの会社が実は欧州にある、なんてことですとCat4の可能性もあります。

が、一般論で言えば、2005年以降であれば古くてもCat5eでしょう。多分、普通に1000/Fullでリンクアップします。もちろん、100M NICだったりすれば100Mbpsでしょうけど。

一台のパソコン用に延長するなら問題ないかと。たくさんのパソコンが関係する部分なら、すでに使われているケーブルの規格と同じでないと。

LANケーブルのカテゴリ(Category・CatとかCATとか略す事も多い)は

・Cat5 ：伝送速度 100Mbps・伝送帯域 100MHz
・Cat5e(エンハンスドカテゴリ5)：伝送速度 1G(1000M)bps・伝送帯域 100MHz
・Cat6 ：伝送速度 1G(1000M)bps・伝送帯域 250MHz
・Cat6A：伝送速度 10Gbps・伝送帯域 500MHz

と、それぞれ特徴があって構築されるLANが100Mbps(100BASE-TX)で設計されているのであればCat5でも問題はありませんが、1Gbps(1000BASE-T)で設計されたLANの場合は少なくともCat5eでないと全体の通信に影響が出てしまう可能性があります。
Cat5からCat6Aまでは上位互換性があるので、Cat6AのLANケーブルを使えば問題は無いのですが・・・。

・配線レスキュー：LANケーブルの規格やカテゴリーの話
　https://haisenrescue.com/blog/lan%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E8%A6%8F%E6%A0%BC%E3%82%84%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E8%A9%B1/

現在普及して使われているLANケーブルの規格は、TIA(アメリカ通信工業会)／EIA(アメリカ電子工業会)で策定・ANSI(米国国家規格協会)が承認したものでTIA/EIA/ANSI規格と言われています。

ケーブルの形状が通常の丸軸であるのがこのTIA/EIA/ANSI規格で定められたLANケーブルですが、中にはこの規格のモノでは無い平べったい「きしめんケーブル」とか「フラットケーブル」と呼ばれている形状のモノもあります。
正規の規格では無い為、殆どのパッケージには「Cat6相当」とか「カテゴリ5e準拠」とか規格表記を誤魔化しているのが現状ですね。
まぁ、使えないわけでは無いので製品として成り立っているという事にもなります。

10年ほど前まではカテゴリー５がLANでは標準でした。
ですので問題はありません。

LANケーブルは仕様が異なる製品を混在させても問題ありません。No2さんのおっしゃるように、遅いところがボトルネックになるだけです。ただカテゴリー５でしたら問題になるほど速度は低下しないでしょう。

接続不良さえなければ通信は出来るでしょうが、速度はどこであれ一カ所でも一番速度、カテゴリーの低い物になってしまいます。

水道のホースを太い物、細い物、混在して継ぎ足しても、一番細い物を通過する水量しか確保できませんよね？

社内LANをどのように設計しているのかによると思います。ここ10年でしたら、ほぼCAT6を前提にしていると思いますので、CAT5だと物足りないと思います。