以下の条件に合うWifiルーターを探しています。 知っている方がいらっしゃいましたら教えてください

PoEが無理ですね。PoE PD(受電)対応だと業務用のアクセスポイント(ルータ機能なし)で価格も一桁上です。PoEスプリッタ(PoEからデータと電源を分離する装置)で電源供給する方が選択肢が広がりそうですが、PoEスプリッタの出力電圧にWiFiルータが対応できるか疑問ですし、4000円だとPoEスプリッタ単体でそのくらいの値段がしそうです。
もしPoE PSE(他機器に給電する側)を求めているのだとしたら、そういうWiFiルータはおそらくないですが、PoEインジェクタ(イーサにACから電源供給してPoE化する装置)を使えば良いでしょう。ただこれもルータに追加すると4000円は軽く超えるでしょうね。

「PoE給電対応」という時点で、Wi-Fiルータは無いでしょう。
あるのは、業務用の「Wi-Fiアクセスポイント（ルータ機能なし）」だけでしょうし、その値段では買えないでしょう。

PoEの条件を付けると無いですね。PoE給電アダプターを外付けにすれば選択肢は増えると思います。

光工事の際にメーカーさんが持ってくる、標準タイプを購入したほうが
回線にあっていて、問題が少ないんだと思っています。
無線で何台も同時に使えますし、優先用のUSB差し込みも、ちゃんとついていますから