有線LANケーブルでドコモ光を使用しています。

ドコモに連絡をして、古いので変えてほしいといえば変えてくれます。
無線LANはオプションになるので、有料。
市販のルーターを付けるのがベストかと。

既回答の通りで、壊れない限り無償交換はない。機能を増やしたければオプション料金を払えば機能の増えたモデムと交換出来る。無線LANも機能の増加なので、オプション料金が掛かる。光電話も同じで、光電話のオプション料金のほかに、光電話対応のモデム（いわゆるホームゲートウェイ）のレンタル料金も掛かる。今夜間遅いと問題になってるIPoE対応なども同じ。

＞そこで、質問なのですが、現在、使用しているモデムが古いので新しくしたいのですが、ドコモに無料で新しいモデムを注文できるのでしょうか？

多分、モデムと仰っているのは、以下のことでしょう。
・VDSL接続であれば、VDSLアダプタ
・恐らく、当時の時代での言い方であれば「ホームルータ」
・その両方、もしくはホームルータのこと

レンタル物品であれば、通常の使用方法で壊れたならば交換してもらえます。ある機能を満たすために交換が必要であれば交換もありえるでしょう。
例えば「無線LANの機能が欲しい」となれば、ホームルータに挿入する無線LANカードが送られてきて、月額500円（税抜き）のレンタル料金が加算されることでしょう。RT-200などのド古いルータにも無線LANカードはありますからね。でも、802.11a/b/gですから、頑張っても54Mbpsです。

という具合にレンタル物品を払いだすNTTって石頭のコンコンチキなんですよ。古い古い在庫品の適用で済むなら、要望された上面の機能が満たせるなら、「何かご不満でも？」みたいな態度を取る。そして、あなたの仰るニーズは満たされる。無線も古典的な範囲だからPC側でサポートしていないなんてことはありえない、PC2台ぐらいの接続も余裕です。
私なら毎月500円払うぐらいなら、3,000円とか4,000円でNECとかBuffaloとかかれた無線LANルータなるものを買って、ブリッジ動作でホームルータに幾つかあるLAN側ポートに繋げます。半年でペイして、もっと速いのですから自明です。

多分、現実的には「この糞古いレンタルルータを交換させて、無線とかデフォルトで入っているもんに交換したい」なんでしょう。ひかり電話とかを使わないなら、ホームルータを返却して、NECとかBuffaloとかかれた無線LANルータを買ってくれば解決です。ひかり電話も使います、フレッツTVも使いますなら、無線ルータを追加してもいいし（ブリッジ動作）、IPoE接続にしたいと希望して、それに対応できないホームルータを、新しいホームゲートウェイに交換させてもいい。

光回線はモデムは元々無くONUになります。
これは故障するまで交換とかは無いです(交換しても特に速度変わるわけではないので)
ONUやモデムは1台しか使えません。

ルーター一体型モデムもあり、これは光電話か光テレビなどを契約するとこれに交換されます。
なので別途料金がかかります。これはルーターが入っているので4台まで繋げます。

ドコモ光でしたらplalaが無料でルーター付いてきます。
https://www.plala.or.jp/d_hikari/
引っ越すならついでにプロバイダーをplalaに変えてみると良いと思います。
ルーターは有線も無線も付いていますし、4台まで繋げます。
plalaにプロバイダーを変えても料金今と変わらず、ドコモ光のまま割引も継続します。

レンタルONUについては、壊れたら交換が基本であり、単純に古いから交換ってことは出来ません。
ONUには、モデム機能はありませんので・・・　VDSLはモデム機能はありますが・・・

光コラボのONU一体型ルータについては、無線LANカードをさせばアクセスポイントが有効になるってものです。

NTT東西及び光コラボのもので、IP電話を契約しているなら、ルータ機能があり。
NTT東西で、IP電話未契約なら、ブリッジになるようです。光コラボは、ルータになるような・・・

モデムではなく、ルーターが必要です。
ドコモでも有りますが、どのみち、月単位で支払います。５００円ほど？

ルーターは、４台ほどは接続できるでしょう。無線は無線カードをこれも別に支払います。

市販のものを買っても良いですが。