戸建て、中継機について 回答お願いします。 1階のリビングにNTTのWi-Fiルータ（親機）を設置

＞NTTのWi-Fiルータ
こいつがあまり仕事してないような気がする
（各種設定はちゃんとできているのかな？）

中継機を挟む手もあるけど

できる子に替える手も有る
高いけど
それなりの価値の有るものも有る

先ずは
電波強度を見るアプリも有るので
それを活用すると良いかもね
設定/設置場所から検証

電波が悪くて、切断されているなら、中継器を設置すれば改善することがある。
通信速度については、単純にLAN内ではなく、ISP網での速度低下もあるから、ISPでの速度低下は改善しない。LAN内での速度低下なら、改善する可能性あり

有線で隣の部屋に置く分には問題ないかとは思います。無線で置くなら中継機が電波を拾わないと中継機の意味が無く何ともなりませんので、扉に近いところ、障害物が少ないところに置くと良いかとは思います。
書いてあるのを見ると隣の部屋までルーターの線が書いてありますが、隣の部屋から無線環境が作られているのでしょうか。それなら速度が遅い理由は別にあるかと。
リビングからの無線なら隣の部屋まで届かないというのは、新築なら理解できます。

中継器は、主に距離の問題を解消するためにあります。
壁が電波を遮断し、弱めているとすれば、
中継器は役に立ちません。

図の状況で、扉の位置に扉を開けて中継器を
置くならば多少効果はあるかもしれません。

壁一つ程度でつばぎが不安定になるのは、
ちょっと疑問ですね。
バッファローのWiFiルータで自室から
リビングまで壁2つ３つ隔てて、
10m弱程度離れてもあまり問題出ませんが。

感覚的には元のルータの設置位置が悪い
とか、何か電波の遮断や競合する要因が
あると思われます。

電気製品から発せられる電磁波が邪魔する
要因になることがよくあります。
電子レンジは要注意ですし、
他の電波が影響してこともあります。
電気製品やスマホなど電源を切ってみて
また、ルータの位置を変えるなどして、
電波状況を確認することをお薦めします。

リビングとパソコン部屋を繋ぐドアはありますか？
ドアがあれば、リビング側のドア上部付近の壁に中継器を設置するのがいいと思います。
それなら確実に速度は上がると思います。
　
見た目を気にしなければ、LANケーブルを引くのが理想でしょう。
ドアを通過させるには、以下のような非常に薄いLANケーブルがあります。

https://www.elecom.co.jp/products/LD-VAPF6ASV04.html

戸建ては一般的に１Gbpsの回線が多いかと思いますが壁一枚で遮断されるのは考えにくいです。ルータの前でスマホなどで回線速度を測って、パソコン部屋でも測ってどのくらい差があるか見てください。元が低ければ中継機で改善しません。

リビング横は大差ないと思います。
それでも不安なら１階は床下も有線這わせたほうが良いと思います。

２階には置いたほうが良いと思います。
が、構造によっては無駄になるかも知れません。
有線ひっぱったほうが確実です。

親機、中継器、子機、この配置は、基本的に見通しで行います。

実際にやってみないとわからないです。
というのも、WiFiの電波が届かない理由としては、確かに壁や床の存在が考えられるのですが、最近特にそれ以上に問題となっているのがチャンネルの重複です。みんながWiFiを使うようになってきたのと、高速なWiFiでは複数のチャンネルをまとめて利用しているので、近隣の利用状況によっては、ほぼ空きがない状態です。まずは、チャンネル（番号のみでは無く帯域全体）の重複が無いか確認してみてください。チャンネルの重複があると、中継器は逆効果です。