携帯を親名義で契約している場合、GoogleやYouTubeの検査履歴って、やろうと思えば親は見れる

大丈夫です。例え「親名義」でなかったとしても、あるいは全くの他人であったとしても、あるいは同じWiFiを使っていなかったとしても、「やろうと思えば」誰でも見れますし、何でもできます。