LINEのバックアップ

できれば、ギリギリにトークのバックアップをしてください。
でないと、バックアップ後に送受信したトークが引き継がれなくなります。

オンラインショップということなので、家に端末が届いてからで良いかと思います。

端末は乗り換えるのですか？

LINEのバックアップの方法は、DoCoMoに乗り換えてもauの時と同じです。

勘違いしてる気がしますが、auからDoCoMoに乗り換えても、引き継ぎ作業は不要です。
引き継ぎ作業が必要なのは、機種変更をした時です。
その場合の作業は、機種変更前後の機種によります。リンク先を見てください。
https://guide.line.me/ja/migration/

前のスマホのLINEはそのまま残っていますか？残っていなければ、トークを引き継ぐことは難しいです。

その状態で、トークのバックアップをしてください。

バックアップをした先(Googleドライブ？iCloud？)と、LINEのアカウント情報も確認しておきましょう。
トークのバックアップを取ってもそのデータにアクセスできなかったり、アカウントにログイン出来なけれら、元も子もありません。