極方程式の問題について。上の問題では暗にr＜0も考えているのですが、したの問題では解答を見ると断りな

要するに、当初の質問「違いはなんでしょうか。

」への答えは、
「式だけ見てないで、文章に書いてあることを読め。」です。

#9訂正します

極座標の定義で
極座標(r,θ)
の
r
は原点からの距離と定められているので
(極座標(r,θ)を用いてと書いてある場合は)
r≧0
だけれども

極方程式の定義では

極方程式
r=f(θ)
によって定まる(r,θ)の組は,(極座標ではなく)
極Oを原点,始線をx軸の正の向きとする直交座標の(x,y)を
(x,y)=(rcosθ,rsinθ)
によって与えるものであるとする

この定義から
(極座標(r,θ)を用いてと書いてない、
極方程式においてはr<0の点も考えるから)

2つの極方程式
r=2/(1-2cosθ)
r=2/(-1-2cosθ)
に対して

r1=2/{1-2cos(θ1)}
x1=r1cos(θ1)
y1=r1sin(θ1)
θ2=θ1+π
r2=2/{-1-2cos(θ2)}
x2=r2cos(θ2)
y2=r2sin(θ2)
とすると

cos(θ2)=-cos(θ1)
sin(θ2)=-sin(θ1)
r2=2/{-1+2cos(θ1)}=-2/{1-2cos(θ1)}=-r1

x2=r2cos(θ2)=r1cos(θ1)=x1
y2=r2sin(θ2)=r1sin(θ1)=y1

だから

極方程式
r=2/(1-2cosθ)
と
r=2/(-1-2cosθ)
は同じ曲線を表す
-------------------
2つの極方程式
r=6/(1+2cosθ)
r=6/(-1+2cosθ)
に対して

r1=6/{1+2cos(θ1)}
x1=r1cos(θ1)
y1=r1sin(θ1)
θ2=θ1+π
r2=6/{-1+2cos(θ2)}
x2=r2cos(θ2)
y2=r2sin(θ2)
とすると

cos(θ2)=-cos(θ1)
sin(θ2)=-sin(θ1)
r2=6/{-1-2cos(θ1)}=-6/{1+2cos(θ1)}=-r1

x2=r2cos(θ2)=r1cos(θ1)=x1
y2=r2sin(θ2)=r1sin(θ1)=y1

だから

極方程式
r=6/(1+2cosθ)
と
r=6/(-1+2cosθ)
は同じ曲線を表す

＞ その問題は極方程式 r=6/(1+2cosΘ) を x,y であらわせ。

です。
＞ この問題では r＞=0 として Θ に制限書けてしまうと間違いになります。

あー、それは問題文が悪い。
r や Θ の変域を明示せず、式を書いただけでは、曲線は特定されない。
中学高校の教科書や問題集には、そういう悪習がある。
こういう↓荒唐無稽なことが、日常的に行われているからね。
https://www.wikihow.jp/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81% …
定義域は、式から読み取るものではなく、
もともと式に書き添えておかねばならないものなのに。
出題者が基本を理解していないんだろう。

その問題で、模範解答が Θ に制限かけてしまうと間違いということならば、
Θ の変域として、分母が 0 になってしまう Θ = ±(2/3)π を除く全実数
を想定してたのではあろう。
しかし、それは決して、解く人が式を見て推理することではなく、
式を与えたときに付記しておかねば出題ミスなのだ。本来は。

No.8 でも触れたように、r = 6/(1+2cosΘ) の式は、
r ≧ 0 になるように Θ を制限すれば双曲線の 1 葉を表し、
Θ の範囲を Θ ≠ ±(2/3)π として r < 0 も許せば双曲線の 2 葉全体を表す。
どちらの意図かを明示しておくのは、式を定義したほうの人の責任だ。

＞ 下の方がきれいにしたのを掲載してくれました。

なぜ、見えない文章が回答者に清書できるのか？
そのカラクリがたいへん疑問ですが...

原文に、No.9 のとおり 「極座標 (r,θ)」 と明記してあったのなら、
ｒ ≧ 0 と仮定してあると見てよいでしょう。
そういう決め手になる記述を文章中から探せ
と No.3 から言い続けているのです。

一方、写真の上半分の話では、 r < 0 の場合も考えるよ
と説明されていたに違いないと想像しています。
出典を、細部までちゃんと調べましたか？

文字 r と θ が出てきてるし、極座標の話っぽいから
たぶん r ≧ 0 だろ？ とやったのでは、出典を読んだとは言えません。

r を原点からの距離 と定めた場合には、そうなりますね。

そうであるかどうかは、原文をきちんと読むしかありません。
写真の文章が、読める解像度の文字で書いてあったらよかったのですが。

極座標系の定義で

r
は原点からの距離と定められているので
r≧0
です
極方程式の定義で
r=f(θ)
の
rは原点からの距離と定められているので
r≧0
です

質問内容と違う話を長文投稿してる人がいるので、

もとの質問に返ってもう一度。 No.3 に書いたことですが...

動点 P の極座標表示を (r,θ) として
P に課せられた条件から極方程式を導いた場合、
極座標の定義から、(r,θ) と置いた時点で r ≧ 0 と決まっている
ので、式には最初から r ≧ 0 の制限がついています。

そうではなくて、もともと r = 2/(1-2cosθ) という式があって、
この式を満たす r,θ について点 (r cosθ,r sinθ) を考えた場合、
r や θ の値の範囲は、この式に添えられた変域によって決まります。

r = 2/(1-2cosθ), -(1/3)π < θ < (1/3)π という曲線を考えてもよいし、
r = 2/(1-2cosθ), -(1/4)π < θ < (1/4)π とか
r = 2/(1-2cosθ), (1/6)π < θ < (1/5)π とかいう曲線を考えてもよい。
どんな曲線を与えるかは、式を考える人の自由なのだから。
もとより、式が r = 2/(1-2cosθ) である以上、θ のとり得る値の範囲は
全ての実数とか 0 ≦ θ < 2π ではありえないわけで、
何らかの変域が想定されていなければならない。
それが θ ≠ ±(1/3)π であってもいいでしょ？ ということです。

違いはここです。

で、具体的な問題について、どちらの使い方がされているのかは
問題文をよく読んで判別するしかありません。
「そこに書いてあることを読め」それだけです。あたりまえでしょう。
r と θ を使って書いてあるから r ≧ 0 だとか、 r < 0 の場合もあるとか、
文章を読まずに決めてかかろうとするから、解らなくなるのです。

写真の上半分の話では、タイトルでやめずに全文を読めば、
θ の変域を θ ≠ ±(1/3)π として、結果的に r < 0 も認めることで、
r = 2/(1-2cosθ) という一本の式で双曲線の 1 葉だけでなく
2 葉全体を表せるようになる ことが説明されていたのだと思います。
そういうタイトルです。

写真下半分の問題では、文章のどこかに r ≧ 0 と限定するような
記述があったのだと想像しますが、画像の解像度が低くて
文章を読むことができません。

要するに、「式だけ見てないで、文章に書いてあることを読め。」

極座標系の定義で

r
は原点からの距離と定められているので
r≧0
です
極方程式の定義で
r=f(θ)
の
rは原点からの距離と定められているので基本は
r≧0
です
だけれども
r≧0 の部分から　r<0へ連続的に変化する場合には
r<0の極座標の点も考えるけれども
その場合でも
r<0 の部分に対応する
r>0 の極方程式が存在します

極方程式
r=2/(1-2cosθ)
の
場合は
cosθ=1/2となるθで不連続だから
r≧0 の部分から　r<0へ連続的に変化しないので

極方程式
r=2/(1-2cosθ)
の定義域は
π/3<θ<5π/3
となります

r=2/(1-2cosθ)<0,(-π/3<θ<π/3) の部分については
極方程式
r=2/(-1-2cosθ)
(2π/3<θ<4π/3)
となります

極座標系の定義で

r
は原点からの距離と定められているので
r≧0
です
極方程式
r=2/(1-2cosθ)
の定義域は
π/3<θ<5π/3
となります

r=2/(1-2cosθ)<0,(-π/3<θ<π/3)
の部分については
極方程式
r=2/(-1-2cosθ)
(2π/3<θ<4π/3)
となります

極座標系の定義で

r
は原点からの距離と定められているので
r≧0
です
極方程式
r=2/(1-2cosθ)
の定義域は
π/3<θ<5π/3
となります

r=2/(1-2cosθ)<0 の部分については
極方程式
r=2/(-1-2cosθ)
(2π/3<θ<4π/3)
となります