賃貸の契約に通帳を持参しなくてはいけないものなのですか？

１．預金通帳は１次情報源、キャッシュカードは２次情報源と考えると判りやすいでしょう。

２．契約時にキャッシュカードを、銀行口座の存在証明として、質問者が相手に提示したとします。でもその前日に質問者がその銀行口座を解約している可能性はありえるかもしれません。
３．銀行は、口座解約の場合、キャッシュカードの持参を必須条件とし、キャッシュカードを持参しないと口座解約に応じないという銀行は、私の知る限り皆無です。ですから、キャッシュカードは２次情報源に過ぎないのです。
４．不動産会社は、一般的には、銀行名、支店名、口座種別、口座番号を書かせるだけで、通帳を持って来いとか、キャッシュカードを見せろというのは、私の経験では有りませんが、最近は「敷金ゼロ、礼金ゼロの業者が居て（但し年会費・入会金とか、保証金とか別名目のお金を払わせられて、実態は何が違う？という疑問を持つ人もいるようです）一律には判断するのは酷でしょう。
５．敷金ゼロ、礼金ゼロの業者なら、余裕がないために、賃借人の信用度合いが収益に直結しますから、絶対安全を求めるとしても仕方が無いと私は思います。そうでなく、一丁前に敷金２、礼金２、仲介手数料１の業者ならやりすぎでしょう。
６．通帳持って行って実害とか、プライバシー侵害も無いでしょうから、おとなしく通帳見せてはどうですか？

法的には持参すべき義務はありません。

あなたにはいつでも契約解除の権利はあります。
（無条件にや金銭的負担なしにと言う意味ではない）

私が今のアパートに入居する際には

不動産屋に運転免許証や源泉徴収票を持参して
コピーをとられました。
審査をしっかりやる、きちんとした業者だとは
思えないでしょうか。
下記サイトの「(9)審査の違い」を参照してください。

参考URL：http://www.hosodakousan.co.jp/tokutyou10.htm

私の知っている限りでは初めて聞きますが。

法的な拘束力はないと思います。

> 法的な拘束力はあるはずもありません。

第一最近の銀行は、通帳がなくなってきています。