「ハングル」能力検定試験と韓国語能力試験と2種類あるようです。

　まずは他の方々が回答していることとして、

1.実施
「ハングル」能力検定試験:
　日本のハングル能力検定協会が実施しているため、韓国を含め海外では通用しない。
韓国語能力試験:
　日本の文部科学省に相当する韓国の教育人的資源部が実施しており、世界中で実施されている国際資格。
2.設問
「ハングル」能力検定試験:
　下級の設問は日本語。
韓国語能力試験:
　設問もすべて韓国語。
3.対象
「ハングル」能力検定試験:
　国籍に関係なく受けられるが、日本人向けにつくってあるような印象がある。
日本人向けのため、たまに日本語を日常語とする人だけがまんまとひっかかるようなひっかけ問題が出ることもある。
(日本語を日常語としない人ならばひっかからないようなひっかけ問題。)
韓国語能力試験:
　特定の国を意識せずに問題がつくられているので、日本人だけがひっかかりやすい問題は出ない。

　そして他の回答者が述べていないものとしては、

4.正解とされる綴り、正書法
「ハングル」能力検定試験:
　大韓民国式と限定されていないので、当然ながら北朝鮮の正書法で回答しても全て正解となる。
韓国語能力試験:
　北朝鮮の正書法で回答すると、基本的には不正解とされる。
極端な話、ネイティブスピーカーである中国の朝鮮族や日本の朝鮮学校出身者が受験した場合、必ずしも満点の成績が取れるとは限らない。

　例えば되다の過去形は現代韓国語で되었다、現代北朝鮮式朝鮮語で되였다と綴られますが、「ハングル」能力検定試験ではどちらも正解で、韓国語能力試験では되였다は不正解とされます。

　南北で綴りが異なるものの一例。
左:大韓民国式　右:北朝鮮式
上:위/우
妻:아내/안해
鶏の卵:달걀/닭알
キャベツ:양배추/가두배추
バス:버스/뻐스
インターネット:인터넷/인터네트
ㅆ(子音字の名称):쌍시옷/된시읏
http://ko.wiktionary.org/wiki/%EB%B6%84%EB%A5%98 …

　余談ですが、わたしが学んだ語学学校には韓国の有名大学や大学院卒、大学教授など大変優秀な韓国人講師が大勢いました。
しかし、優秀なプロであっても되다の過去形が北朝鮮で되였다と綴られることを知っている講師はひとりもいませんでした。
南北が統一したら、新しく作り直さなければならなくなる国語の教科書や文法書はどうするつもりなのかと疑問に感じたものです。

　文字化け修正
http://suin.asia/oshiete_goo.php

ハングル検定はたしか日本の民間団体が主催していたような。

一方で、韓国語検定試験は韓国政府主催で世界中で実施されており、上級の試験で合格すれば韓国の大学への留学資格が得られます。

というわけで、韓国に留学したり、あるいは日本以外の国で韓国語を使ってビジネスをするなら韓国語検定試験、そうでなければどちらでも、ということになると思います。

http://kajiritate-no-hangul.com/KENTEI/index.html

このサイトからそれぞれのＨＰへ飛んでみると情報がありますよ。
個人的にはハングル検定は範囲が決まっていて学校の定期テストのような印象、能力試験は実力テストのような印象があります。

どちらでもいいんじゃないかと思っています。

言葉の試験なので、つまるところ、同じではないかと。「ハングル」能力検定試験は色々と問題集が揃っていて、また試験地施設も近いので私はこれで。
韓国語能力試験では、設問も韓国語で書かれているという違いしか知りません。他に、少しイラストの問題が多いのかな、書店で立ち読みしたらそのように覚えています。