「つとめる」と「はたらく」について

まづ助詞についてです。

会社で働く
助詞「で」の用法は動作をおこなう場所の「で」
例　学校で勉強する。

会社に勤める
助詞「に」の用法は動作の目的とする場所の「に」
例　学校に行く

勤めるはもともと力を尽くして努力するの意味
や仕える勤務する。自分の職場で仕事に従事する

働くはもっと範囲が広いでしょう。仕事をするほかに、
いろいろの活動をする。
悪事を働くと言う言葉もあります。

つとめるには、その行為を行って、何か変化するという含意があります。

仏道の修行や僧侶が行う行為は、「おつとめ」と言います、あれです。
あるいは、古語で「つとめて」となると、前夜に（男女の）何かがあったあとの、翌朝という意味が出てきます。冬はつとめて・・・（枕草子）冬は早朝が　と訳していますが、普通では起きないような時間に頑張って起きた結果出会える時間が「つとめて」となります。頑張って起きる起きるという行為の結果得られる時間が「つとめて」となります。

常に,行為対象物を想定しなければ「つとめ」られないのです。

一方で　働く　には、働く主体に重点が置かれます。
俺が働く、彼が働く・・・ついでに場所は何処でしょう？というニュアンスで　場所指定が来ます。そこではじめて「会社で」となります。この場合、会社は修行の場ではありません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A9%E8%A9%9E
ここの格助詞

に　と　で　を　見てください

に：物体の存在する場所や移動の目標点および到達点、相手に視点を置いたときの相手の動作、対象に対する指向性が感じられるとき
で：更には材料から完成品への変化の少ない時の材料・原料、動作や状態の継続する期間

似た様な説明をしていますが、抜き出したところが、差のある部分。
で　では、変化が少なく、　に　では指向性が出てきます。

なので、つとめる　という、修行を通じて自分なり周りが変わるというニュアンスのある動詞では、「に」が似つかわしく、働く　という場所などが変わらない場合「で」が似つかわわしい用法となる。
会社に働く
となると、会社に要望を入れたりして会社を変化させる感じが出てきます。
会社でつとめる
とすると　会社で修行なり会社と関係ないことを、たまたま会社という場所でつとめているように感じます。

かつて、奈良市の職員が病気を装って長期欠勤しながら、

給料のほぼ全額を受け取っていた問題がありました。

このように、勤めながら働かないことが可能ですので
勤めると働くは同じ意味ではないと思います。

勤める→所属に関する意味がある
働く→行動に関する意味がある

「つとめる」と「はたらく」が意味が同じだとは

思えません。
農業をしていることを「つとめる」とは
言わないでしょう。
「つとめる」は組織とか個人に雇われて働くことですね。