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絵師は自称するものです。

資格・学歴はいらず職業でもありません。
下手でも絵師と名乗ることが出来ます。

イラストレーターは自称することは出来ますが、職業的にはデザイン全般を勉強しなくてはいけません。
専門学校か大学で専門的なことを学ぶ必要があります。
イラストレーターの仕事内容もかなり曖昧化していますので、グラフィックデザイナー以上の知識と技術が必要となります。
資格は必要ないですが、レタリング技能検定や色彩士検定など資格をとらせる学校もあります。

挿絵ライターがイラストレーターを名乗っていたり、一般人が挿絵ライターのことをイラストレーターと呼び勘違いされています。

言葉の響きがいいからと絵で報酬貰っている人のほとんどが「イラストレーター」と名乗るようになってしまいました。。。

自称イラストレーターを名乗る一部の人の絵が「イラスト」ではなく「アート」になっているのに。。。
よほど自信がないと「アーティスト」って名乗らないんですよね。。。

　特に差はないです。

人によって呼び方が違うので。

　純粋に挿絵であれば、グラフィックデザイナー（DTP）などになって出版社などに入り、ちょっとした挿絵を描いたり、コネでちょっとしたイラストの仕事がきたりします。

　今はスマホのカードゲーム全盛なので、ゲーム系のCGイラストであればそれなりに需要がありますので、そういう系統であればゲームCGの学校のオープンキャンパスに行って、自分に合う学校を探すと良いかと。

厳密に言えば違いというか発祥の区別はあると思いますが、現代の世間的な感覚から考えると、どちらも定義に大した違いはないと思います。

それよりは、どういう系統の絵を仕事にしたいかですね。
他の方も挙げておられたように、お皿や家具などに「絵付け」をするような仕事の場合、弟子入りなどをして勉強する必要があるかと思います。
伝統工芸がこの部類ですよね。

そうではなく、いわゆるライトノベルやネットゲームのような、アニメ漫画系のイラストの仕事がしたいということであれば、下手にそういう系統の専門学校に行くほうが仕事が困難になる傾向があるので、絵じゃないことを学びながら独学でやるのがいいと思います。

質問者さんご自身が「こういう絵の仕事をしたい！」というものを持っているなら、それを補足頂けるといいのではないかと思います。

絵師というと、

友禅や磁器の絵付けをする人や、お風呂屋さんの壁の絵や看板を描く人などの職人さん的なイメージがありますね。
伝統の中に自分の主張をどう活かすか、ということですね。

イラストレーターというと、

商業目的で絵を描く人、ということになりますか。
ただし、２種類あって、お客さんの希望するような絵を描く場合と自分で好きなように描いていたものが商業目的で利用されるという場合です。

まあ、それぞれ専門学校というのはあるのでしょうが、絵師さんの方は弟子入りということが多いのではないかと思います。