数学は、どう勉強するべきなのか

応用が出来ないと言うことは質問文が理解出来ない

数学の能力よりも読解力の欠如だと思います

> 数学は、どう勉強するべきなのか

仰るように、そのレベルなら、「どう」勉強するか、でしょう。
「何を」じゃない。
しかし、あなたの文章には、「何を」しか書かれていません。
それを「どう」やっているのか、どういう意識でやっているのか、もっと細かく。
また、基礎から簡単な応用までの問題(＝公式や基本的な解法の使い方の問題)なら、全部スラスラ解けるようになっているでしょうか？

それと、大学受験や大学で、数学とどう付き合うつもりなのでしょうか。
東大の数学科に行きます、物理科に行きます、その他理工学をします、文系に行きます、センターのみです、私立専願で入試で数学は使いません、で違うでしょう。
勿論、入試で数学を使うつもりは無いが、今その勉強ができないということが気に入らない、ということでも構いません。

問題が解けない、ということが嫌で嫌で仕方ないから、まず解法をきっちり暗記してから問題演習をしています、では伸び止まるかもしれません。
失敗してみて、どこで失敗したのか、を反省しながら前に進んでいるでしょうか。
また、問題が解けませんでした、では無く、もっと局面局面で、今ここで何が見えてなければならなかったのか、どう手が動かなければならなかったのか、と「一通り」失敗しているでしょうか。
勿論、忘れた頃にその問題を解き直すことで、解けるようにしてあることが前提ですが。
その失敗のレベルは、入試標準レベルの典型問題レベルか、それより上か、どの辺りでしょう。

中学生くらいの年齢ですべての科目の勉強方法が変わりましたね。

なぜ変わるかと言うと、脳の構造が変わってしまうから・・
　小学生程度までの脳は、今後の一生で必要ではないであろう神経細胞をふるい落としてきました。新生児に比べて神経細胞は数は半分程度まで減っているはず。そして、その後は機械的な記憶ではなく、色々なことを関連付けて理解して覚えていくように変わります。小学生のときのように、何でも乾いたスポンジに水をかけるような記憶ではなく、関連付けて理解して、答えを出すときは判断して出すように換わります。小学校のときにできていた子が遅れて行ったり、遊んでいるこの成績がどんどん伸びていく。
　あなたは多分小学校の頃はできていたはず。その自信が勉強方法の変化に切り替えることを妨げた。そのために、定期テストや経験のある問題は解けるけど、新しい初見の問題は手も足も出ない。高校では学びませんが中学の幾何はその典型で、幾何の文章題は苦手だったのでは？特に初出の問題は。

＞私が一つ気になっているのは、応用問題が解ける生徒と解けない生徒の違いはどこにあるのかということです。
　読書量の違い・・
　できる子に聞いてご覧なさい。どんな小説が好き？？「ロビンソンクルーソー」「１５少年漂流記」「ああ無常」あるいは「路傍の石」とか、はてまた「海底二万マイル」・・。色々な本が出てくると思います。
　文章や会話から抽象的な概念を頭の中に自力で構築できないと数学はできません。マンガだと作者が提示してくれるから、頭の訓練にはならない。だから娯楽にはなる。しかし読みや得ても何も残らない。

　まあ、復習ではなく予習を心がけること。先生の会話をイメージできないのですから、事前に目を通してから話を聞かないと。

理解の能力、と探求心かな？。

答えが若わかっても、他の方法がないかに興味を持つか持たないか？。
言い換えれば結果だけほしがり、結果さえゲットできれば、大満足してしまう。
公式の暗記は必須です、理解しただけでは実際の場面では暗記していないと、時間を食います。
公式を適用できるまでの過程は、ひらめき、発想の転換・・・・等本質的には個々の特性の影響が大です。
ただし、応用問題を数多くこなせば、その数だけの着眼点等は身に付きます。
もちろん、解答、答えが出ただけで満足するだけではダメです、このケースではここがポイント、をしっかり頭にたたきこむ必要はあります、そのためにも分析、理解能力は不可欠です。

問題に応じて「公式」をその場で作り出すことこそが、応用問題を解くってことなんです。

　ですから、原則として、暗記をしないことです。高校数学で憶えなくちゃならないことなんて、せいぜいノート1〜2ページ分ぐらいですよ、多分。あとはひたすら理解につとめる。カンペキに腑に落ちるまで。どんな公式も時間を掛けさえすれば自力で導き出せるようにする。

　試験対策としては「時間を掛けさえすれば自力で」じゃまだ不足で「時間をあんまり掛けず、何も見ないで、自力で」が求められる訳ですが、これは練習によって達成できます。一つの問題をいろんなやり方で解く練習は効果的です。

ん～....

応用問題がなぜ解けないのか, その理由はわかりますか? あるいは, 応用問題を解こうとしたときに, どこで詰まっていますか?

理解したつもりでいて実は暗記しているだけではないか。

公式なんて覚えようとしちゃダメだ。
その場で公式を導き出せるくらいに理解していなければ意味が無い。
「英単語を覚えるような学習方法では理解は絶対に深まらない。」
授業中に理解まで至れば、試験の前に問題集から一部抜粋して解くことで
理解が薄れているか確認できるのですぐに理解度を戻せる。（復習は本来そのためのものだ。）
学校での授業はそういうものだろう。

応用問題をスラスラ解く人は根本的に理解できている、暗記力（類似問題を解いている）がとても強い人だ。

A)センター試験のように、基本問題の構成で80％以上得点

　する試験
B)難関大学の二次試験のように、部分点まで含めて50％
以上得点する試験

で､勉強の攻略方法が異なります。塾で学べば、効率的かも
しれません。
チャート式、解法のテクニックなどの参考書で、定石を
学び、解法パターンを暗記することが良く言われます。

その他として
①大小関係
②場合分け
③必要条件、十分条件
④含む、含まない（集合）
⑤具象化と抽象化
⑥１対1の対応
のようなものがありますが、例えば模試の解答見て
着眼点が何かを学ぶと良いと思います。

大学入試で作問する先生は、高校で使われている教科書
を良く見るそうです。教科書で使われてる内容を組み
合わせて総合問題を作問します。
また、その際、数学を解く上で必要なアプローチの仕方
（例えば①～⑥）を試してきます。この場合は、教科書に
出ていないというような批判は受けにくいのです。

現状の基本問題を続けて実力を上げ、難しい問題
に対してどうアプローチしていくか、解法のストック
を増やしてみたらいかがでしょうか。

塾に行ったほうがいいでしょう。