蛇口を自分でなおすには

少し器用な人なら自分で交換できますが　自信がなければ専門家に頼むのが最適ですよ　自分で修理出来る人は　見ただけでわかりますから

ここで質問はしません

マンションでなら、管理会社に連絡すれば直してくれます。

多分、ビスが緩んでいると思います。

そっくり取替えです。

自分でやるより、なじみの水道屋さんがいれば、依頼したついでに各部の点検をしてもらった方が良いでしょう。
　経年劣化のようだから、他にも壊れる寸前って箇所があるかも。
冬場は水道管の破裂が多く発生し、水道屋さんが大忙しになる可能性がありますから、その前に。

>どこをどうしてどうやってなおせば良いのでしょうか？

正直言って、そういうレベルであれば業者さんにお願いした方が良いと思うけど

メーター側の止水栓の位置とか、その蛇口の止水栓の位置とか分かりますか？

止水栓を止めた上で、その蛇口を外して中のパッキン交換で済みそうなのか、それとも水栓自体を交換する必要があるのか確認して、必要な部材を調達して作業する

ＤＩＹ用のサイト、水栓メーカーのサイトなどで、交換方法を説明していますからそういうのを参考にするか？
或いは、ホームセンターで相談するか？

＞年代物なのでパーツの劣化でしょうか…

それはパーツなどでなく、蛇口本体の首を振る部分が摩耗しているのですよ。

＞どこをどうしてどうやってなおせば…

蛇口を丸ごと取り替えです。
ホームセンターなどに同等品が売られていますが、自分で取り替え工事などできなければ、水道屋さんを呼ぶしかほかないです。

＞ポタポタと水漏れしてちゃんと水がとまりません…

その写真からは流し台と判断しますが、洗面所でも同じです。
蛇口下の収納部分の扉を開けると、ふつうの蛇口ハンドルのような元栓があります。
普段は締めておいて、水を使うときだけ開けるようにすれば、とりあえずの応急措置にはなります。