ケージがトイレだと認識している３ヵ月のオスのラブラドールレトリバー。 今まではレギュラーサイズのト

胡散臭い回答をしますね。

質問内容を見ると・・・・そりゃそうだ！と、わたし個人的には思っています。

早い犬だと1週間程度でケージ内のトイレは覚えますが、外に出すと失敗します。
ケージ内に戻ってまでトイレをしないからです。

犬の習性で本能は寝床周辺（生活エリア内）ではトイレをしないのです。
生活エリア外でトイレトレーニングすると、
トイレのしつけ- Superpuppy
http://superpuppy.ca/school/housebreaking.htm
＞拍子抜けするほど簡単で、１週間以内にトイレのしつけが完了しました。
1週間で基本的に完了できるのですよ・・・・・ここをしっかり読んで欲しいです。

ケージ内のトイレを覚えるのと同じ感覚で、トレーニングは完了しています。
最初から寝床から離れた場所のトイレを教えているからでしょう。

留守番などあれば、ケージ内でトイレをさせる必要があるので、非常用トイレは必要かと思います。

同室にトイレを置くのは良くないです（生活エリア内でトイレをさせるべきではない）。
4ヶ月時には、我が家の黒ラブはフリー環境で室内飼いをしていました（お勧めする訳ではないが）。
トレーニング方法は、洗面所がトイレの場所で、後から庭に変更しました。
３・４日後には洗面所のトイレに自ら行ってました。
生活エリアはリビングで、リビングから台所を抜けて洗面所まで移動していました。

絶対に失敗させない方法は、垂れ流しで犬自らトイレをさせないことです。
トイレの時に犬を飼い主が誘導して、目の前でトイレをさせるようにすれば失敗はないです。

朝食後に生活エリア外のトイレに誘導して、コマンドで教えてください。
帰宅時間帯と寝る前に誘導します・・・・・これだけしっかり教える。
非常用トイレは一切教えない・・・勝手に使わせる。
飼い主が居る時間帯のためトレーニング可能です。
完璧になるまで、この時間帯だけで十分ですのでトレーニングしてみてください。
早期にこの時間帯でトイレが出来るようになります。

トイレの場所を変えてもダメですか？

いつもしている場所にワイドサイズのものを置くとか。